Parabol Dersi: Formüller, Denklemler, Örnek Sorular ve Cevaplar
Tarih M.Ö. 380’lere kadar uzanıyor parabol matematiğin her zaman en dikkat çeken alanlarından biri olmuştur. Diğer konuların aksine parabol icat edilmedi. Tam tersine keşfedildi ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapıldı. Günümüzde birçok pratik uygulamada kullanılmaktadır.
Bu makalede, parabol Konuyu detaylıca anlattık. Ayrıca konuyu pekiştirmek için daha önceki sınavlarda çıkan örnek soruları sık kullanılan denklemleri kullanarak çözdük. Lafı fazla uzatmadan içeriğimize geçelim.
Temelden başlayalım; Parabol nedir?
Parabol kısacası belli bir eğrinin denklemidir; böylece eğri üzerindeki her nokta her zaman sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden eşit uzaklıkta olur. Bu sabit nokta parabol odak noktasıdır ve sabit çizgi parabolün doğrultmanıdır. Başka bir deyişle, bir noktanın makul bir noktadan veya belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta olan geometrik kısmına parabol denir.
Parabolik eğriler Fizik, mühendislik, finans ve bilgisayar bilimi gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Parabol denkleme bağlı olarak yukarı veya aşağı içbükey olabilir. senşeklinde bir eğridir.
Peki parabol nasıl ortaya çıktı?
tarihsel olarak Parabolün geometrik özellikleri Antik Yunanlılar tarafından ortaya çıkarılmıştır. Tarihsel kayıtlar incelendiğinde, hiperbol ve elipsin yanı sıra parabolün özelliklerini de inceleyen yazar Menacchmus’tur (MÖ 380-320). birinci şahıs olarak görünür. Daha sonra Pergeli Apollonius M.Ö. 262-190) konik kesitler üzerine bir çalışma yapmış ancak parabol tanımı oranlar üzerinden yapılmış ve çalışmasında rastgele herhangi bir koordinat kullanmamıştır.
Bu tarihlerden yıllar sonra Galileo (1564-1642) merminin yerçekiminin etkisi altında olduğunu keşfetti. parabolik Bir yol izlediğini fark etti. Ünlü matematikçi Kepler (1571-1630), gezegenlerin Güneş etrafında dönerken eliptik şekle çok yakın bir şekilde döndüklerini fark eden ilk kişiydi. Newton bunu evrensel çekim yasasını kullanarak kanıtladı.
Bir parabolün standart denklemi nedir ve nasıl yazılır?
XY düzleminde bulunur parabol Koordinatları (x,y) olan bir P noktası alın. Parabolün tanımına göre parabol üzerindeki herhangi bir noktanın odaktan ve doğrultmandan uzaklığı eşittir. P’nin direktrise olan mesafesi PB formunda ifade edilir; burada B’nin koordinatları (-a, y) yönündedir çünkü P’nin odaktan uzaklığı PF’dir.
Parabol tanımına göre PF = PB (1) olduğundan uzaklık formülünü kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz:
PF = √((xa)² +(y-0)² = √{(xa)² +y² } . . . .(2)
PB = √{(x+a)² } (3)
(1), (2) ve (3). Denklemleri kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz:
√{(x−a) +y² } = √{(x+a)² }
⇒ (xa)² + y² = (x+a)²
⇒ x² + a² – 2ax + y² = x² + a² + 2ax
⇒ y² – 2ax = 2ax
= y² = 4ax
Genel olarak, bir parabolStandart denklemde yön y eksenine paralel ise aşağıdaki gibi bir denklem oluşur;
y² = 4ax
Parabol yan yana ise yani yönü x eksenine paralel ise parabolün standart denklemi;
x² = 4 ay
Bu iki durum dışında bir parabolün denklemi, parabolün negatif kısımda olması durumunda y² = -4ax ve x² = -4ay şeklinde olabilir.
Parabol formülleri nelerdir?
Tepe noktası ve bir noktası bilinen bir parabolün formülü
y = a.(xr)² + k
X ekseni ve üzerindeki başka bir noktanın kesiştiği noktalar olarak bilinen parabol formülü
f(x) = a. (x – x1) . (x – x2)
Bilinen üç noktası olan bir parabolün formülü
y=f(x) =ax² + bx + c
Sınavlarda örnek parabol soruları
Soru 1:
Şekilde grafiği gösterilen parabolün tepe noktası T(5/2, 5), y eksenini kestiği nokta ise A(0,4)’tir. Bu parabolün denklemi y = ax² + bx + c ise b ne kadardır?
Çözüm 1:
Köşeyi kullanma,
Denklemi y = a(x+5/2)² + 5 olarak yazabiliriz.
(0,4) noktasını da kullanalım.
4 = a(0+5/2)² + 5
4 = 25a / 4 + 5
-1 = 25a/4 => -4 = 25a => a = – 4/25.
y = – 4 / 25 (x+5/2)² + 5 denklemini genişletip yazalım.
= – 4 / 25 x² + 5x + 25/4) + 5
= – 4/25 x² – 4/5 x +.
Buna göre b = -⅘.
Soru 2:
y = x² parabolü ile y = 2 – x doğrusu arasındaki sınırlı bölgenin sınırlarındaki (x, y) noktaları için x² + y² kelimesinin alabileceği maksimum değer nedir?
Çözüm 2:
Öncelikle parabolün ve doğrunun grafiğini çizelim. Y = x² parabolü, köşesi orijin ve kolları üst çizgi olan bir paraboldür. y = 2 – x doğrusu eksenleri 2 ve 2 noktalarında kesiyor.
x²+ y²’nin en büyük değeri için orijinden en uzaktaki noktayı almalıyız. Burası A noktası. A noktasının koordinatlarını bulalım.
x²- 2 – x
x² + x – 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0, x = -2 A’nın apsisidir.
x = -2 için y = 2 – x – 4.
A(-2, 4) noktası için
x² + y² = (-2)² + 4²
= 4 + 16 = 20.
Soru 3:
y = x² – 2(a + 1 )x + a² -1
Parabolün y = 1 doğrusuna teğet olduğunu düşünürsek a nedir?
Çözüm 3:
Y = 1 olduğunda fonksiyonun y = 1 doğrusuna teğet olabilmesi için tek bir kökü olması gerekir. Bu durumda,
1 = x² – 2(a+1)x + a² -1
0 = x² -2(a +1)x + a² – 2 denkleminde Δ = 0.
(-2(a+1))² – 4.a.(a²-2)=0
4(a² + 2a + 1)- 4a² + 8 = 0
8a + 12 = 0
8a = -12
a= -3/2
Soru 4:
a ve b’nin pozitif gerçek sayılar olduğu dik koordinat düzlemindeki orijinden geçerek,
p(x + a) + b
p(x + a) – b
p(x – a) – b
Olarak tanımlanan üç parabolün tepe noktaları, alanı 16 birim kare olan bir üçgenin köşe noktalarıdır.
Buna göre a + b’nin toplamı nedir?
Çözüm 4:
Eğer p(x) = (xa)² -b polinomu orijinden geçiyorsa, (0,0) noktası parabolün bir noktasıdır.
0 = (0-a)² – b
0 = a² – b => a² = b.
Diğer polinomların tepe noktasını bulalım.
p ( x + a) + b = (((x+a)-a)² – b ) + b
=x² – b + b
= x². Zirve noktası (0,0)’dır.
p ( x + a) -b = (((xa)-a)² -b ) -b
= x²-bb
= x² – 2b. Zirve noktası (0.2b) noktasıdır.
p (xa) -b =(((xa)-a)² – b ) -b
= (x-2a)² -b -b
= (x-2a)² -2b. Zirve noktası (2a, -2b) noktasıdır.
Koordinat düzleminde inceleyelim.
Tabanı 2a uzunluğunda ve yüksekliği 2b uzunluğunda olan bir üçgen elde ediliyor. Bu üçgenin alanı 16br² ise,
(2b.2a)/2 = 16
ab = 8.
a² = b ise a = 2 olur.
b = a² = 4.
a + b = 2+4 = 6
Soru 5:
f(x) fonksiyonunun grafiği, formda gösterildiği gibi Ox eksenine (1, 0) noktasında teğet olan ve (0, 3) noktasından geçen bir paraboldür.
Buna göre f(3) nedir?
Çözüm 5:
Eğer köşe (1, 0) noktası ise
y = a(x-1)² + 0 denklemi ortaya çıkıyor.
(0, 3) noktasından geçtiğini varsayarsak,
3 = a(0-1)²
3 = a.1 => a = 3
Eğer f(x) = 3(x-1)² ise f(3)=3.(3-1)² = 3,4 = 12.
